Игорь Кваша родился 4 февраля 1933 года в Москве, в семье доктора химических наук, заведующего кафедрой МХТИ имени Д. И. Менделеева Владимира Ильича Кваши и Доры Захаровны Кваши — сурдопедагог и дефектолог, выпускница Московского медико-педологического института Наркомздрава СССР. Отца мальчик потерял достаточно рано, в возрасте девяти лет. Владимир Ильич Кваша погиб на ленинградском фронте в 1942 году.Мальчик часто дрался, прогуливал уроки, а когда появлялся в школе, был ярым нарушителем порядка, другие ученики были не лучше, поэтому в один момент терпение педагогов не выдержало, и класс было решено расформировать. Игорь читал стихи на школьных вечерах, а потом пошёл в городской Дом пионеров. Там была замечательная театральная студия, из которой вышло очень много известных людей. Все мысли Кваши занимал театр, точные науки его не воодушевляли. В Доме пионеров был очень дружный коллектив и мальчик после уроков сразу мчался туда.В 1955 году окончил Школу-студию МХАТ.

На радио Кваша читал отрывки из «Пиковой дамы». Ещё удалось исполнить такие произведения как «Облако в штанах» В. Маяковского; «Двенадцать» А. Блока; многое из М. Ю. Лермонтова; Н. Некрасова; Г. Мопассана. Известный цикл поэтических передач, сделанных Игорем Квашой — радиозапись романов «Белая гвардия» М. Булгакова и «Доктор Живаго» Б. Пастернака.
ТЕАТРАЛЬНЫЕ РАБОТЫ

• 1956 — «Вечно живые» В. Розова — Владимир
• 1957 — «В поисках радости» В. Розова — Николай
• 1958 — «Никто» Э. де Филиппо — Джузеппе
• 1959 — «Два цвета» А. Зака, И. Кузнецова — Шурик Горячев
• 1960 — «Голый король» Е. Шварца — Первый министр
• 1961 — «Четвёртый» К. Симонова — Дик
• 1962 — «По московскому времени» Л. Зорина — Звавич
• 1962 — «Пятая колонна» Э. Хемингуэя — Макс
• 1962 — «Старшая сестра» А. Володина — Кирилл
• 1963 — «Без креста!» В. Тендрякова — Казачок
• 1963 — «Назначение» А. Володина — Отец
• 1964 — «Сирано де Бержерак» Э. Ростана — Сирано
• 1965 — «Оглянись во гневе» Д. Осборна — Джимми
• 1966 — «Обыкновенная история» В. Розова (по И. Гончарову) — Поспелов
• 1967 — «Традиционный сбор» В. Розова — Евгений Пухов
• 1967 — «Декабристы» Л. Зорина — Пестель
• 1967 — «Народовольцы» А. Свободина — Провинциал
• 1967 — «Большевики» М. Шатрова — Свердлов
• 1968 — «На дне» М. Горького — Лука
• 1970 — «С вечера до полудня» В. Розова — Ким
• 1971 — «Свой остров» Р. Каугвера — Рийпс
• 1972 — «Как брат брату» Д. Рейби — Дэвид
• 1973 — «Восхождение на Фудзияму» Ч. Айтматова и К. Мухаметжанова — Мамбет
• 1973 — «Балалайкин и К°» М. Салтыкова-Щедрина — Рассказчик
• 1976 — «Вишнёвый сад» А. П. Чехова — Гаев
• 1977 — «Фантазии Фарятьева» А. Соколовой — Фарятьев
• 1977 — «Обратная связь» А. Гельмана — Окунев
• 1979 — «Доктор Стокман» Г. Ибсена — Стокман
• 1980 — «Спешите делать добро» М. Рощина — Мякишев
• 1980 — «Вечно живые» В. Розова — Бороздин (ввод)
• 1981 — «Кабала святош» М. Булгакова — Мольер
• 1982 — «Три сестры» А. П. Чехова — Чебутыкин
• 1984 — «Дни Турбиных» М. Булгакова — Алексей
• 1985 — «Большевики» М. Шатрова (возобновление) — Свердлов
• 1986 — «Близнец» М. Рощина — Дед Анисим
• 1987 — «Случай в Виши» А. Миллера — Доктор Ледюк
• 1988 — «Мелкий бес» Ф. Сологуба — Передонов
• 1989 — «Крутой маршрут» Е. Гинзбург — Доктор
• 1991 — Вторая глава« Н. Саймона — Джордж
• 1992 — «Трудные люди» Й. Бар-Йосефа — Саймон
• 1993 — «Титул» А. Галина — Пьетро
• 1995 — «Виндзорские насмешницы» У. Шекспира — Фальстаф
• 1996 — «Карамазовы и ад» Н. Климонтовича — папаша Карамазов
• 1996 — «Вишнёвый сад» А. Чехова (возобновление) — Гаев
• 2000 — «Играем… Шиллера!» (сценическая версия трагедии Ф. Шиллера «Мария Стюарт» — Лестер
• 2001 — «Балалайкин и К°» М. Салтыков-Щедрина (возобновление) — Рассказчик
• 2004 — «Бесы» Ф. М. Достоевского — Степан Трофимович Верховенский
• 2005 — «Полёт чёрной ласточки, или Эпизоды истории под углом 40 градусов» П. Хотяновского, И. Гаручавы — Иосиф Сталин
• 2005 — «Три сестры» А. П. Чехова — Чебутыкин
• Режиссерские работы:
• 1981 – М. Булгаков «Кабала святош»
• 1984 – М. Булгаков «Дни Турбиных»
• 1990 – В. Войнович, Г. Горин «Кот домашний средней пушистости»
• 2001 – М. Салтыков-Щедрин «Балалайкин и Кº»
• 2008 – «А вам не хотится ль/Под ручку пройтиться?..»

Первая работа в кино – «Сержант Фетисов»(1961 г.)
1979 — «Тот самый Мюнхгаузен»
Снялся в более 70-ти фильмах.

С 1998 года ведущий телевизионной передачи «Жди меня» на Первом канале.
В 2008 году вел передачу «Невероятные истории про жизнь».
В 2007 году была издана книга Игоря Кваши под названием «Точка возврата», в которой он подробно вспоминает о детстве и юности, о спектаклях и репетициях, о колоритном театральном быте, насыщая повествование яркими и точными деталями, в том числе и подлинными документами.